Formelumformungen 

Um Formeln korrekt umformen zu können müssen einige grundlegenden Rechenregeln bekannt sein.

Erweitern und Kürzen von Brüchen

Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

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Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert.

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Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Man addiert (subtrahiert) einen Bruch, indem man zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringt und dann die Zähler addiert (subtrahiert).

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Multiplizieren von Brüchen

Man multipliziert zwei Brüche, indem man deren Zähler und deren Nenner miteinander multipliziert. Beim Vorkommen von Summen sind vorher Klammern zu setzen.

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Bruch durch einen Bruch dividieren oder: Doppelbruch auflösen

Man teilt einen Bruch durch einen anderen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

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Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Addition und Multiplikation

In reinen Additionen oder Multiplikation ist die Reihenfolge des Addierens oder Multiplizierens beliebig:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

 

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Um eventuelle Vorteile auch beim Verwenden von Subtraktion und Division nutzen zu können, kann man diese entsprechend in Addition von Zahlen mit negativen Vorzeichen oder Multiplizieren eines Bruchs umwandeln.

Beispiel:

2 + 3 - 5 - 9 + 4 + 5 = 2 + 3 + (-5) + (-9) + 4 + 5 = ((2 + 3) + (-5)) + ((-9) + (4 + 5)) = 0

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Wenn Addition und Multiplikation gemischt auftreten, gilt Punkt- vor Strichrechnung. Zuerst werden also alle Produkte gelöst und zuletzt erst die Additionen.

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Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Das Kommutativgesetz gilt wieder nur für reine Additionen (Subtraktion nach Umwandlung in Addition mit negativem Vorzeichen) oder Multiplikationen. Es ist möglich durch Tauschen, die Reihenfolge zu unserem Vorteil zu verändern.

Beispiel Addition:

17 + 60 + 23 = 17 + 23 + 60 = 40 + 60 = 100

17 + 60 + (-7) = 17 + (-7) + 60 = 10 + 60 = 70

Beispiel Multiplikation:

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Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Auch bekannt als Ausmultiplizieren von Klammern oder rückwärts gesehen Ausklammern. Dabei wird ein Faktor vor der Klammer auf jeden Summanden in der Klammer angewendet.

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Sehr interessant beim Umformen von Formeln ist das Ausklammern. Dabei werden Summen nämlich faktorisiert, sodass Kürzen in Brüchen möglich wird.

Dabei wird geguckt, welcher Faktor in jedem Summanden vorkommt. Dieser Faktor kommt vor die Klammer und jeder Summand kommt geteilt durch diesen Faktor in die Klammer.

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Wie schon erwähnt kommt dieses Prinzip vor allem beim Kürzen in Formeln zum Tragen. Im Übrigen: Wenn der Faktor nicht in jedem Summanden vorkommt, kann man den Wert auch als Bruch stehen lassen.

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Im nachfolgenden Beispiel (Widerstände in der Parallelschaltung) wird zunächst der erste Widerstand im Nenner ausgeklammert und daraufhin alles gekürzt, was möglich ist.

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Im nächsten Schritt wird der zweite Widerstand ausgeklammert und daraufhin wieder gekürzt.

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Wenn wir im letzten Schritt noch den Kehrwert nehmen, erhalten wir die bekannte Formel, bei der wir Widerstände in der Parallelschaltung über die Kehrwerte der Widerstände (= Leitwerte) ausrechnen.

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Äquivalenzumformungen

Eine Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beide Seiten die gleiche Operation anwendet.

Einfaches Beispiel:

5 = 2 + 3

Wenn jetzt zu beiden Seiten 5 addiert wird ändert sich der Wahrheitsgehalt der Gleichung nicht.

5 + 5 = 2 + 3 + 5

10 = 10

Dasselbe gilt natürlich auch für Multiplikation und jede andere Operation.

Entscheidend ist, dass immer auf beiden Seiten dieselbe Operation angewendet wird!

Angenommen man hätte folgende Formel:

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Diese Formel soll nach C aufgelöst werden.

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